< วงกลม >

จากรูปกำหนดให้ P(x, y)เป็นจุดซึ่งเคลื่อนที่ได้ และ O'( h , k )เป็นจุดคงที่

ถ้าจุด P( x , y )เคลื่อนที่ไปโดยที่มีระยะห่างจากจุดO'(h , k )เป็นระยะคงที่เสมอ

ทางเดินของจุด P ( x, y )มีลักษณะเป็นวงกลม

บทนิยามวงกลมคือ เซตของจุดทุกจุดบนระนาบที่มีระห่างจาก

จุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะคงที่เสมอ

เรียกจุดคงที่ว่า " จุดศูนย์กลางของวงกลม " และเรียกระยะคงที่ว่า " ความยาวรัศมีของวงกลม "

การหาความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ ( 0, 0 ) และความยาวรัศมี r หน่วย

  

จากรูปให้ P( x, y )เป็นจุดใดๆบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ 0( 0, 0 )และมีรัศมียาว r หน่วย

       จากบทนิยามจะได้                             PO    =    

                                       =   

     ยกกำลังสองทั้งสองข้างได้              =   

    นั่นคือ ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ ( 0, 0 )และมีรัศมียาว r หน่วยคือ

                            =   

 การหาความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง ( h,k)และรัศมียาว r หน่วย

บทนิยามจากรูปจะได้

       PO'  =  r

                                                           =  r

ยกกำลังสองทั้งสองข้างจะได้   =

นั่นคือ ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ ( h,k)

             

 

ตัวอย่างที่1.  1  ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ( 0,0 ) รัศมียาว 4 หน่วยคือ

                  หรือ

                2 ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด(0,1)รัศมียาว 2 หน่วยคือ

                    หรือ

                   

               3 ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด(2,0)รัศมียาว r หน่วยคือ

                      หรือ

            

                4 ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด(2,3)รัศมียาว3หน่วยคือ

                         หรือ

                        

 หมายเหตุ  การกระจายเพื่อจัดให้อยู่ในรูปทั่วไป

                                                  เราใช้สูตร                 

                                                                                   

การหารัศมีและจุดศูนย์กลางของวงกลม

     จากสมการกราฟวงกลม ซึ่งเป็นกราฟวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด(h,k)และรัศมียาว r หน่วย

เพื่อกระจาย จะได้สมการรูปทั่วไปของสมการกราฟวงกลมดังนี้

              เมื่อ D,E และ F เป็นจำนวนจริงใดๆ

จากสมการกราฟวงกลม สมการหาหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลมนี้ได้ดังนี้

                              

                    จุดใหม่ได้    

            + =  

                                     =  

  วงกลมนี้มีจุดศุนย์กลางอยู่ที่จุด และมีรัศมียาวเท่ากับ    เมื่อ > 0

หมายเหตุ   1. ถ้า < 0 จะสร้างวงกลมไม่ได้ กล่าวคือ ให้ใช้สมการกราฟวงกลม

                2. ถ้า  เป็นวงกลมจุด ( Point cicle ) และ

                3. ถ้า > 0 สมการ เป็นสมการกราฟวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่

                     และมีรัศมียาวเท่ากับ

ตัวอย่างที่ 4  ให้หาจุดศูนย์กลางและความยาวรัศมีของวงกลมที่มีกราฟของความสัมพันธ์ต่อไปนี้

                1.

                2.

                3.

 doghouse.gif

วิธีทำ   1. เป็นกราฟวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ( 0, 0) และรัศมียาว 2 หน่วย

          2.

เอา 4หารทั้งสองข้างจะได้          

                                    

           เป็นกราฟวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ( 0, 2 ) มีรัศมียาว หน่วย

          3.

                              เพราะฉะนั้น   

                             เพราะฉะนั้นมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด

                                    รัศมียาว      =  

                                                   =  

                                                   =    =  2หน่วย                                   clock_hand.gif

                หรือ        

                         

                  

                 

เป็นกราฟวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ( -2 , 0 ) และมีรัศมียาว 2 หน่วย

 

 flower_wind.gif

              หรือ     

        เอา 4 หารทั้งสองข้างได้    

                                       D=3, E=-4 , F=

         จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด                              clock_alarm.gif

                         รัศมียาว                                                          

                                                        

                                                          หน่วย

 

heart.gif 

                                           หรือ

                                                   

                                                      

                                     

                                                         

                                                             

                                                             

           เป็นกราฟวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด รัศมียาว 3หน่วย

 bar_green.gif

ตัวอย่างที 3. จงหาความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ ( 5, -1 ) และเส้นรอบวงยาว หน่วย

วิธีทำ                       สูตรความยาวเส้นรอบวง  

                                       แทนค่า    

                                                        

               นั่นคือความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ ( 5, -1 ) มีรัศมียาว 7 หน่วยคือ

                      หรือ     

ตัวอย่างที่ 4. จงหาความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ ( 1, 2 ) และวงกลมนี้ผ่านจุด ( -3 , 2 )

วิธีทำ       รัศมีของวงกลมคือ ระยะห่างระหว่างจุด ( 1 , 2 ) และจุด

                                                                    

                                                                       หน่วย

ดังนั้นความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นวงกลมซึ่งมีจุดศูนย์กลางที่ ( 1, 2 ) และรัศมียาว 4 หน่วย คือ

                               หรือ    

 

ตัวอย่างที 5. จงเขียนความสัมพันธ์ของกราฟวงกลมที่มีจุด ( 2, 6 ) และ ( -4, 2 )เป็นจุดปลายของเส้นผ่าศูนย์กลางของวงกลม

วิธีทำ         จุดศูนย์กลางของวงกลมคือ จุดกึ่งกลางระหว่าง ( 2, 6 ) และ ( -4, 2 )   =   

                                                                            = (-1, 4 )

                       และรัศมีคือระยะระหว่าง                          

                                                                            

                                                                            

ความสัมพันธ์ที่มีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-1, 4 ) มีรัศมียาว คือ  หรือ

                                                   

 ball.gif

ตัวอย่างที่ 6.จงหาความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลม มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ( 2, 3 )และมีแกน y เป็นเส้นสัมผัส

วิธีทำ

                                                 

                               จากรูปวงกลมนี้มีรัศมียาว 2 หน่วย

                              ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ ( 2, 3 ) และรัศมียาว 2 หน่วย คือ

                                           

                                 หรือ     

                                                                                   

ball.gif

ตัวอย่างที่ 7. จงหาความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลม จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด(-1, 1 )และสัมผัสกับเส้นตรงที่มีสมการเป็น 3x-2y+18 = 0

วิธีทำ

  • รัศมีของวงกลม คือ ระยะระหว่างจุด (-1, 1 ) กับเส้นตรง 3x-2y+18 = 0
  • ระยะระหว่างจุด กับเส้นตรง Ax + By + C = 0 คือ
  • ระยะระหว่างจุด (-1, 1 ) กับเส้นตรง 3x + 2y + 18 = 0

         คือ =

  • รัศมีของวงกลมนี้ยาว หน่วย
  • ความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (-1,1 )มีรัศมียาว หน่วย คือ

                           

                           

                                                         จบแล้วจ้า ! แล้วอย่าลืมทำแบบทดสอบหลังเรียนนะจ๊ะanipurple08_next.gif